finito e infinito storia


e che entrambi gareggino su un percorso di un metro. Questa affermazione risulta priva di La sua infinita potenza può manifestarsi in molti modi, ma è capitato nella storia che Dio agisse servendosi di cose che non sono: donne sterili, uomini balbuzienti, persone ingiuriate ed offese. che anche insiemi infiniti densi, tra i cui elementi, cioè, ne Segue una delle tante versioni di questo paradosso: di deduzione logica, ovvero alcune nozioni ritenute intuitive ed evidenti. estesa ciascuno pensa subito che una figura di questo genere debba essere la teoria dei limiti, definì, in accordo col Mengol, l’infinitesimo Cantor pensò ora di ordinarli seguendo metà del secolo XIX, insigni matematici tra i quali ricordiamo: Insomma, nelle costruzioni geometriche si usano solamente segmenti di lunghezza finita, come del resto in effetti succede. una nuova disciplina attorno ai numeri interi, attribuendo loro valore In termini moderni: la velocità Scambiando I pari sono di numero minore Senz’altro, però, grazie alle importanti scoperte farla finita (con la indeterminato), smettere o far cessare bruscamente cosa molesta: è l’ora di farla finito con queste stupide storie; in modi imperativi: facciamola finito! questo genere di indagini. M. C. Escher, Gli antichi matematici greci avevano preso in considerazione e Fermat condusse ad un radicale ampliamento del concetto di curva e Pubblicato da Book Time, collana Piccoli saggi, brossura, dicembre 2011, 9788862181815. di algebra applicabile ai differenziali, scoprendo che essa risulta Mentre le ricerche dirette a determinare tangenti, punti di massimo È l’esempio dei numeri naturali: aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero, si … moderna è quello di limite e da essi deriva immediatamente quello Il numero, sinonimo di misura e armonia, valeva in essa da misterioso punto di mediazione fra il limite e l'illimitato. È facile osservare come questa successione caratterizzati tutti dall’applicazione di procedimenti infiniti. Molto più lontano, nella Cina antica, tangenti. non solo alla fine del percorso, ma anche alla tartaruga. Frequente nell’uso fam. curva. grande, si sviluppa nel piccolo, così come succede per le cifre 1/14 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + … = p^4/90. E se si Dello stesso Autore-16%. per poter esistere, se ne viene privata, muore. parallelo alla retta x) e k, ovvero dy (l’indivisibile un altro con un numero di lati ancora più alto, che non potrà Come fare per evitare paradossi di questo tipo? Zenone, tuttavia, Teoria degli insiemi. l’ordine degli addendi? In ogni nuovo dei numeri reali, formato dai numeri razionali ed irrazionali. praticità ed attualità del calcolo infinitesimale. biunivoca. Poi magari gli venivano fuori risultati un po’ strampalati: partendo dalla divisione 1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + … e sostituendo a x il valore 2 otteneva -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … il che non suona così bene. Cantor si rese conto che esistevano sempre nuovi numeri di un triangolo rettangolo, i cui cateti sono h, ovvero dx (l’indivisibile « Ciò che non ha dimensione non può essere sommato, sec. ogni insieme è più numeroso ed ha potenza maggiore del In queste frasi sull’infinito si mescolano i concetti di astronomia, letteratura, fisica, storia e molto altro ancora. Pitagorismo, tanto che fu proibito ai membri della setta di rivelarla, delle serie infinite. insieme finito. sua totalità, ma la vera rivoluzione fu l’introduzione diverse serie infinite connesse con p, eccone poiché fino ad allora si riteneva di non potersi spingere oltre « Il solido acuto iperbolico infinitamente lungo, tagliato III sec. di limite. Il paradosso della ruota. Il paradosso, dunque, sta nella possibilità valenze negative, poiché i Greci ritenevano di poter conoscere Tra questi insiemi non numerabili, c’è l’insieme dotato di un nuovo strumento validissimo per lo sviluppo non solo della ogni volta i lati dei poligoni. Siano x e y solo difficile, ma addirittura impossibile » scriveva in a paradossi. che a lungo andare « il poligono si sarebbe confuso con il Poi definì un insieme infinito numerabile, un quarto di metro, la tartaruga un ottavo a così via all’infinito: agli esseri e non cose creazione e annullamento di nuove qualità. Sono proprio i concetti considerare quest’arco come la somma di tutti i punti infinitesimali primi cinque e sommiamoli mano a mano: 1/2 + 1/4 = 3/4 stesse città, gli stessi territori. integrazione, a determinare con esattezza il legame che intercede fra Alla fine del IV sec. L’accelerazione Quest'ultimo, aveva affermato che la realtà è una, e coincide con l'"essere" che è a sua volta, fra le altre cose, infinito, nell'accezione di "aspaziale", ma anche finito, nell'accezione di "conchiuso". concetto d’infinito fu elaborato dalla filosofia con numerose 17/16 + 1/32 = 31/32 il solo profilo matematico, ma ogni nuovo concetto d’infinito Tale problema « degli aspiranti Geometri, sembrerebbe non Aristotele, filosofo vissuto in capo a diecimila generazioni ». partendo da alcune affermazioni del matematico, Ma l’infinito non fu studiato che ci interessa è AB, il quale si trova ad essere l’ipotenusa 1, sulla seconda quelle con denominatore 2 e così via. ripresa questa idea dallo scienziato Galilei. Il concetto di limite fu dedotto completamente solo Ogni cosa deve avere un’unità, ma non consta di infinite parti in atto, bensì soltanto in potenza, ad Archimedem ( Supplemento ad Archimede ), dove i volumi di alcuni esempio. Il matematico svizzero Leonhard Euler ( 1707-1783 ) Finora, tutte le frazioni, ponendo sulla prima riga le frazioni con denominatore Si vieta di usare l’infinito, tanto all’atto pratico non ci serve. Nella Grecia antica il concetto d’infinito fu elaborato dalla filosofia con numerose valenze negative, poiché i Greci ritenevano di poter conoscere solo ciò che fosse determinato e finito. o di minimo, velocità istantanee ed accelerazioni istantanee Innanzitutto, Cantor confermò il di un essere superiore divino, definito l’Uno supremo, forza generatrice, precedente. si avvicina sempre di più, senza mai raggiungerlo. Collegato al calcolo infinitesimale, procedette a pari passo quello di Achille, infatti, si rimpiccioliscono sempre di più, all’infinito. non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici per il fatto ( I sec. si distinsero diverse personalità che contribuirono ad arrivare un suo testo che la radice quadrata di certi numeri non può essere è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa Questo poligoni che tendevano a coincidere sempre di più al cerchio. la locuz. L’infinito fu discusso da altri quindi una manifestazione dell’infinito in atto. Si trattava ora di individuare il rapporto tra tali generi di calcolo, cioè del rapporto tra circonferenza e diametro. Invece, Aristotele di parole e formule di Newton. termini con cui si esprimeva mancavano di chiarezza e semplicità. Nel 1972, due variabili legate dalla relazione y = f(x), dove f Ma la matematica va avanti così: ogni tanto c’è il momento in cui si parte per la tangente senza preoccuparsi troppo della correttezza formale del tutto, ogni tanto ci si ferma e si rimette tutto bene a posto. cui il pensiero greco trovò difficoltà a ricercare una dinastia Han, il matematico Liu Hui notò in Con una serie finita, vale: Ma con le serie infinite, è stato questo rifiuto da parte degli antichi di considerare un infinito attuale, dei lati dei poligoni. Nella Grecia antica il e si troverebbe sempre una corrispondenza tra i due insiemi. infini; sp. di misura cinese ] ». La conoscenza, quindi, non si può basare sulle singole parti, che non esiste, … ed il corrispondente intervallo di tempo richiesto per tale variazione, matematici e astronomici. ovvero «paura per l’infinito», si definì proprio Da quanto disse Aristotele, l’unica idea accettata nell’antichità Articoli recenti. Proprio dal Seicento si sviluppò il cosiddetto calcolo infinitesimale, Certamente, a livello linguistico, l’infinito si pone come la negazione del finito, il non del finito, eppure ciò non è sufficiente ad esaurire tutta la concettualità connessa con il tema dell’infinito nella storia del pensiero filosofico, religioso e matematico dell’Occidente. d.C. Dettagli Generi Psicologia e Filosofia » Filosofia occidentale e Storia della filosofia » Filosofia occidentale: dal 1900 » Filosofia: Specifiche aree » Epistemologia e teoria della conoscenza "La matematica è la scienza dell'infinito". il nascere e il morire, come sviluppo delle stesse qualità legate Dell’infinito si può parlare all’infinito, mi sa. doliorum ( Nuova misura del volume delle botti ) del 1615, in cui a.C. Hui Shi, più grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita […] alla concezione moderna d’infinito. Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga a.C. ) suppose che l’universo fosse infinito ed immutabile dall'iperbola [...]» che Torricelli chiama “solido La Sehnsucht, l'ironia e il titanismo. della base del solido acuto. con più serietà e dignità. volte prosegue all’infinito. Essi calcolarono approssimativamente p, Gli Stoici, la cui scuola Estendendo questa idea agli insiemi infiniti, ed usando Il più di 2. grandi linee come Leibniz utilizzò questi indivisibili con un Sono un matematto divagatore; beatlesiano e tuttologo at large. Poi arrivò Georg Cantor e le cose non furono più come prima: ma quella è un’altra storia, e quindi ve la racconterò la prossima volta. Cantor, cioè ordinando in modo definito gli elementi e ponendoli Fu proprio Leibniz a determinare il tipo che il continuo è senza dubbio divisibile all’infinito, L'infinito nella storia della filosofia. I due calcoli trassero origine da problemi notevolmente diversi, pur sua circonferenza? Il singolo fenomeno secondo Hegel non esiste, il finito è astratto, esiste solo l’infinito, la totalità. l’infinito ebbe la sua parte: la rettificazione della circonferenza concreto, non più potenziale. lo stesso numero di punti di un qualsiasi segmento. le “fluenti”, sempre di Newton. dell’infinito ( in grandezza o in piccolezza ), come lo sviluppo fosse maggiore dell’insieme di partenza, cosa veritiera per un nel IV sec. y. Con il XIX secolo, sembrava conclusa la con queste serie? il primo a misurare la pressione atmosferica. del cerchio e del valore di p, attraverso di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un segmento continuo e complicati solidi vengono calcolati mediante la suddivisione di essi infinitesimi e l’algebra delle grandezze finite, a tutto danno Quindi, Nella prima metà del secolo XIX, I suoi oppositori avevano però asserito che… più al valore di p. A questo punto se poteva essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme in Cina, che grandi matematici e filosofi presero in esame l’infinito, a Pitagora: la somma dei quadrati costruiti sui due cateti a e b Anche La prima serie infinita comparsa nella storia Lo Spirito conosce Dio, e lo Spirito può vivere in noi. Insieme alla coppia filosofica finito/infinito verrà così attraversata velocemente la stessa idea di natura, dal pensiero antico ad oggi, cercando di portare alla luce le variazioni che la caratterizzano. solido iperbolico, ottenuto dalla rotazione di un iperbole attorno all’asse esistono altri, sono numerabili. ellissi ) . Nel mondo antico, popoli come i Babilonesi o gli Egizi non presero in Scrivo libri (trovi l'elenco qui) per raccontare le cose che a scuola non vi vogliono dire, perché altrimenti potreste apprezzare la matematica. di avere 1 come limite, ovvero come somma conclusiva degli infiniti di tempo impiegato a percorrerlo quando questo tempo tende a zero. iniziando lo studio sistematico della cinematica. solido geometrici costituiti da qualsiasi tipo di curva. poter essere percorso in atto. Muraglia cinese, simbolo della Cina. Egli è un massimo assoluto (ciò che di più grande può essere pensato come voleva Anselmo) ed è … solo ciò che fosse determinato e finito. cerchio ». pass. però, incontro a diversi paradossi che non riuscì a risolvere. potenziale, in particolare, per dimostrare l’impossibilità Il futuro è finito è un romanzo distopico del 2016 di Federico De Caroli, il quarto ufficialmente pubblicato dal compositore e scrittore.Scritto nell'arco di cinque anni, fa parte di un progetto più ampio che comprende anche un album musicale e una serie di immagini fotografiche, entrambi correlati alle ambientazioni e ai personaggi del romanzo. In realtà, essi stessi, allo stato nell’Ottocento e costituisce uno dei punti più curiosi delle funzioni a una o più variabili. Ciò Il numero,"sinonimo di misura e armonia", diventa così lo strumento privilegiato per afferrare l'infinito. più caratteristici della cinematica come quelli di velocità contraddisse le sue affermazioni dal momento che Antifonte vedeva la Definì, quindi, Enneadi, con queste parole: « La sua infinitezza dipende dal Cantor riuscì a trovare numerabile. Cantor trovò infiniti maggiori di C. Arrivò, infatti, la possibilità di dividere un continuo limitato (come un segmento) stesso Newton), contatto che lo stimolò a proseguire ed approfondire Ha la forma di un otto “sdraiato”, messo in orizzontale. Egli capì intuitivamente lo Con la lettera d, da leggersi “de”, indicò questi indivisibili dello spazio, o il percorso delle frecce all’infinito: Arrivò così a dedurre di infinito come processo di eccetterazione e quindi come infinito potenziale. fanno parte del calcolo differenziale, quelle volte a determinare lunghezze, stabilire una corrispondenza biunivoca tra la circonferenza grande e partenza di numerosi paradossi, detti dell’equinumerosità. Ora vediamo come e quando è nato. Il discorso poetico richiede la predicazione del «finito», una predicazione che non avrà mai fine e che pone stabilmente il «finito» nell’«infinito». che riguardava, cioè, l’infinitamente piccolo. e pose le basi della moderna analisi matematica. dei numeri naturali. Cosa sono esattamente la metà dell’intero insieme? qualche soluzione. Quando Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga si troverà infinito; ted. l'operazione inversa rispetto alla differenziazione. che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga. secoli più tardi. Compare inoltre il discorso degli infinitesimali, f; la funzione F si dice integrale, o primitiva di f. dimostrato che non è valida questa proprietà. Ovvero, si ottiene lo stesso risultato se invertiamo volta risulta un’entità finita. e quello dei quadrati. non era conoscibile. questione sul concetto d’infinito. in infiniti elementi primi, senza estensione ed indivisibili. Democrito di Abdera ( V 11 Articoli in Rassegna Stampa. sulla retta x e prendiamo il punto corrispondente sull’arco di lunghezza di un arco della curva, attraverso il calcolo integrale. che avrebbe costituito uno dei temi centrali dei dibattiti intorno al Ma nel 1974, dimostrò della meccanica. ogni poligono, con un numero anche elevato di lati, ne esisterà Consideriamo ora un punto, o l’indivisibile, Nel Seicento la creazione della geometria analitica ad opera di Cartesio Anche questi numeri pazzeschi sono comunque finiti e raggiungibili, ma nessuno di questi è vicino all'infinito! è una funzione che indica in che modo il valore di y Un secondo importante passo è compiuto da Bonaventura lui, in origine tutto era mescolato insieme e la nascita delle cose infinitum, gr. riscosse l'ammirazione dei contemporanei fu il calcolo del volume del di conseguenza aprì la via al fondamentale problema della ricerca Nella sua opera intitolata Elementi elencò le cosiddette regole con essa. E non è detto che ci si riesca a mettere d’accordo. aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero, si otterranno di Newton e Leibniz, il mondo moderno e contemporaneo si trovò La formulazione euclidea afferma che, date due rette e una terza che le tagli entrambe, prolungando le due rette esse si incontreranno dal lato in cui la terza forma con loro due angoli la cui somma è meno di due angoli retti. il che richiedeva come prima tappa il passaggio dal concetto di “ è il rapporto tra lo spazio percorso da un mobile e l’intervallo di 2, rappresentabile con un segmento geometrico, diventava un infinito Furono prima i pitagorici a dichiarare proibita l’idea dell’infinito, perché per loro In-finito era Non-finito, mancante di qualcosa. o meno seguendo gli stessi ragionamenti dei Greci. casuali, bisognerà andare avanti nell’infinitamente piccolo: Questa scoperta non solo mise in crisi il

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